Question

若函數(shù)滿足：集合中至少存在三個不同的數(shù)構成等比數(shù)列，則稱函數(shù)是等比源函數(shù).
（Ⅰ）判斷下列函數(shù)：①；②；③中，哪些是等比源函數(shù)？（不需證明）
（Ⅱ）判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù)，并證明你的結論；
（Ⅲ）證明：，函數(shù)都是等比源函數(shù).

Answer 1

（Ⅰ）①②③（Ⅱ）不是等比源函數(shù)（Ⅲ）略

解析試題分析：（Ⅰ）①是等比源函數(shù)，例：當時，；當時，；當時，。1、4、16成等比。②是等比源函數(shù)，例：當時，；當時，；當時，。成等比。③是等比源函數(shù)，例：當時，；當時，；當時，。1、2、4成等比數(shù)列。（Ⅱ）假設函數(shù)是等比源函數(shù)，即存在正整數(shù)且，使得成等比數(shù)列，根據(jù)等比中項列出式子，再推理論證得出矛盾。（Ⅲ）根據(jù)可推導出為首項為正整數(shù)公差也為正整數(shù)的等差數(shù)列。假設（）整理得當時說明假設成立，即函數(shù)值中存在三個不同的數(shù)構成等比數(shù)列。
試題解析：（Ⅰ）①②③都是等比源函數(shù).                       3分
（Ⅱ）函數(shù)不是等比源函數(shù).                         4分
證明如下：
假設存在正整數(shù)且，使得成等比數(shù)列，
，整理得，       5分
等式兩邊同除以得.
因為，所以等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)，
所以等式不可能成立，
所以假設不成立，說明函數(shù)不是等比源函數(shù).        8分
（Ⅲ）法1：
因為，都有，
所以，數(shù)列都是以為首項公差為的等差數(shù)列.
，成等比數(shù)列，
因為，
，
所以，
所以，函數(shù)都是等比源函數(shù).             13分
（Ⅲ）法2：
因為，都有，
所以，數(shù)列都是以為首項公差為的等差數(shù)列.
由，（其中）可得
，整理得
，
令，則，
所以