Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣1+ ，（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x﹣1+ ，

∴f′（x）=1﹣ = ，由f′（x）=0得x=lna

∴當(dāng)x∈（﹣∞，lna）時(shí)，f′（x）＜0，∴（﹣∞，lna）是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，∴（lna，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間

（2）解：當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）=x﹣1+ 沒有公共點(diǎn)，則x﹣1+ =kx﹣1無解，

∵x=0時(shí)，上述方程不成立，∴x≠0

則x﹣1+ =kx﹣1可化為k=1+ ，

設(shè)g（x）=1+ ，∴g′（x）=

∴g′（x）滿足：在（﹣∞，﹣1）上g′（x）＞0，在（﹣1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，

∴g（x）滿足：在（﹣∞，﹣1）上遞增，在（﹣1，0）上遞減，在（0，+∞）上遞減，

g（﹣1）=1﹣e，而當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→1，

∴g（x）的圖象：

∴g（x）∈（﹣∞，1﹣e]∪（1，+∞）

無解時(shí)，k∈（1﹣e，1]，

∴kmax=1

【解析】（1）先求導(dǎo)，f′（x）=1﹣ = ，由f′（x）=0得x=lna，分x∈（﹣∞，lna）與（﹣∞，lna）兩種情況寫出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）=x﹣1+ 沒有公共點(diǎn)，則x﹣1+ =kx﹣1無解，則x﹣1+ =kx﹣1可化為k=1+ ，
設(shè)g（x）=1+ ，求導(dǎo)，研究此函數(shù)的單調(diào)性即可解決．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的最值及其幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．