Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切，求直線的斜率的值；

（2）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，求出、的值，進(jìn)而可得出的值；

（2）根據(jù)題意知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，然后求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，驗(yàn)證條件“當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，”是否滿足，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)，不妨設(shè)直線的方程為，由題意得，

設(shè)切點(diǎn)為，則，解得.

直線過(guò)點(diǎn)，則有，解得，即直線的斜率為；

（2），.

①若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

此時(shí)，即，不合乎題意；

②若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

于是有；

（ii）當(dāng)時(shí)，記，則，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

此時(shí)，即，不合乎題意；

（iii）若，記，則，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

此時(shí)，即，不合乎題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.