Question

如圖，已知平面α∩平面β=MN，A∈α，B∈β，C∈MN且∠ACM=60°，∠BCN=45°，二面角A-MN-B=60°，AC=2．
（Ⅰ）求點A到平面β的距離；
（Ⅱ）設(shè)二面角A-BC-M的大小為θ，求tanθ的值．

Answer 1

分析：（I）由題意及圖形作AO⊥β于O，AD⊥AN于D，連接OD，知∠ADO=60°，然后在直角三角形中求解即可；
（II）如圖，在β平面內(nèi)，過點O作直線BC的垂線，垂足為F，與直線MN交于E點，∠AOF為二面角A-BC-M的平面角，然后再三角形中求解即可．

解答：解：（Ⅰ）如圖，
作AO⊥β于O，AD⊥AN于D，連接OD，知∠ADO=60°，
在Rt△ADC中，易得AD=

3

CD=1，在Rt△ADO中，OD=

3

2

，AO=

3

×sin60°=

3

2

．
（Ⅱ）如圖，在β平面內(nèi)，過點O作直線BC的垂線，垂足為F，與直線MN交于E點，
易證∠AOF為二面角A-BC-M的平面角，
由已知得∠BCN=∠ECF=∠CEF=45°，
可求得OE=

6

2

，DE=DO=

3

2

，EC=1-

3

2

，EF=

2

2

×(1-

3

2

) =

2 2 - 6

4

，OF=OE+EF=

6

2

+

2 2 - 6?

4

=

2 2 + 6?

4

，
tanθ=

AO

OF

=

3 2

2 2 - 6? 4

=

6	2

-

3	6

．

點評：此題重點考查了利用二面角平面角的概念及在三角形中求解角的大小，還考查了學生的空間想象能力及計算能力．