Question

已知x＞0，給出下列四個不等式：
（Ⅰ）x＞ln（1+x）；
（Ⅱ）

1-x

＞1+

x

2

-

x2

8

；
（Ⅲ）ax＞（a+1）^x（a＞0）；
（Ⅳ）sinx+cosx＞1+x-x²．
則其中恒成立的不等式的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：（Ⅰ）構造函數，利用導數研究函數的單調性即可得到結論；
（Ⅱ）根據函數的定義域，取特殊值進行判斷；
（Ⅲ）利用特殊值法進行判斷；
（Ⅳ）利用數形結合即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）設f（x）=x-ln（1+x），則f'（x）=1-

1

1+x

=

x

1+x

，
當x＞0時，f'（x）＞0．此時函數單調遞增，
∴f（x）＞f（0）=0，
即x＞ln（1+x）成立；
（Ⅱ）當x=2時，

1-x

無意義，∴

1-x

＞1+

x

2

-

x2

8

不恒成立；
（Ⅲ）當a=1，不等式ax＞（a+1）^x（a＞0）等價為x＞2^x，當x=1時，不等式x＞2^x不成立，∴Ⅲ錯誤；
（Ⅳ）作出函數y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)和y=1+x-x²的圖象如圖，則當x＞0時，sinx+cosx＞1+x-x²．恒成立．
故選：B

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，利用數形結合，導數法以及特殊值法是解決本題的關鍵．