Question

已知△ABC的面積滿足，且•=6，
（Ⅰ）求f（B）=sin²B+2sinB•cosB+3cos²B的值域；
（Ⅱ）若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由三角形面積和數(shù)量積公式，聯(lián)解可得，結(jié)合得tanB∈[-1，-]，從而，再化簡函數(shù)f（B）=2+sin（2B+），結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)f（B）的值域；
（II）由已知得向量、都是單位向量，將平方化簡得=13-12sinB，結(jié)合角B的取值范圍則不難得到的取值范圍，進而可得到的取值范圍．
解答：解（I）由，得2S=acsinB
因為，所以-6=accosB
∴，
結(jié)合，得，
由角B為三角形內(nèi)角可知，…（2分）．
∵f（B）=sin²B+2sinB•cosB+3cos²B=…（4分）
∵，函數(shù)f（B）在區(qū)間[，]上為增函數(shù)
∴當B=時，函數(shù)有最小值為2+sin=1；當B=時，函數(shù)有最大值為2+sin=
由此可得…（6分）．
（II）由可知：．…（8分）．
∵A+B+C=π，∴A+C=π-B，得sin（A+C）=sinB
因此，…（10分）
∵，∴sinB∈[，]
由此可得：，得到…（12分）．
點評：本題以平面向量的數(shù)量積運算為載體，求關(guān)于B的函數(shù)的值域和向量模長的取值范圍，著重考查了平面向量數(shù)量積的運算公式、兩角和與差的正弦函數(shù)和向量的模公式等知識，屬于中檔題．