Question

（2008•盧灣區(qū)一模）（理）已知四邊形OABC為直角梯形，∠AOC=∠OAB=90°，PO⊥平面AC，且OA=3，AB=6，OC=2，PO=3．若

PD

=

1

3

PB

，求：
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）異面直線PC與AD所成的角θ（用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，找到各定點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，利用

PD

=

1

3

PB

即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）利用空間向量，把所求異面直線所成角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角，利用向量的夾角公式即可求出該角的余弦值，注意異面直線所成角的范圍是（0，

π

2

]．再利用反余弦表示即可．

解答：解：（1）以O(shè)A所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，3），B（3，6，0），A（3，0，0），C（0，2，0）
設(shè)D（x，y，z），則

PD

=（x，y，z-3），

PB

=（3，6，-3）
∵

PD

=

1

3

PB

，∴（x，y，z-3）=

1

3

（3，6，-3）
∴x=1，y=2，z=2
∴D（1，2，2）；
（2）∵

PC

=（0，2，-3），

AD

=（-2，2，2）
∴cos＜

PC

，

AD

＞=

PC • AD

| PC || AD |

=

4-6

4+9 4+4+4

=-

39

39

∴cosθ=

39

39

θ=arccos

39

39

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用空間向量解決立體幾何中異面直線所成角的大�。�