Question

底面邊長為1、側棱長為2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的8個頂點都在球O的表面上，E是側棱AA₁的中點，F是正方形ABCD的中心，則直線EF被球O所截得的線段長為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意可知正方體的體對角線計算球的直徑，求出對角線的長可得球的直徑，求出半徑．再利用勾股定理推導出EF=，球心O到EF的距離為，由此能求出結果．
解答：解：∵底面邊長為1、側棱長為2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的8個頂點都在球O的表面上，
∴球O的半徑R==，
由已知所求EF是正方體在球中其中一個截面的直徑，
∵OQ=，EQ=，∴OE==，
∵AF==，∴EF==，
由球心O、E、F構成的△OEF中，
OF==1，
設球心O到EF的距離為d，則，
∴d==．
所以直線EF被球O所截得的線段長=×2=．
故答案為：．
點評：本題考查正方體的外接球，球的表面積的計算，球的截面知識，考查計算能力，空間想象能力，正確利用條件求解直線EF被球O截得的線段長，是本題的難點，結合圖形直觀，易于解題．