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        1. (湖南卷理17)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,∠BCD=60°,ECD的中點(diǎn),PA⊥底面ABCD,PA=2.

            (Ⅰ)證明:平面PBE⊥平面PAB;

          (Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小.

          解: 解法一(Ⅰ)如圖所示,連結(jié)BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,

          BCD是等邊三角形.因?yàn)?i>E是CD的中點(diǎn),所以BECD,又ABCD,

          所以BEAB.又因?yàn)?i>PA⊥平面ABCD平面ABCD,所以

          PABE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.

          平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.

          (Ⅱ)延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F,連結(jié)PF.

          過(guò)點(diǎn)AAHPBH,由(Ⅰ)知

          平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

          在Rt△ABF中,因?yàn)椤?i>BAF=60°,

          所以,AF=2AB=2=AP.

          在等腰Rt△PAF中,取PF的中點(diǎn)G,連接AG.

          AGPF.連結(jié)HG,由三垂線定理的逆定理得,

          PFHG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(銳角).

          在等腰Rt△PAF中,

          在Rt△PAB中,

          所以,在Rt△AHG中,

          故平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小是

          解法二: 如圖所示,以A為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)

          各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,0,0),B(1,0,0),

          P(0,0,2),

          (Ⅰ)因?yàn)?sub>,

          平面PAB的一個(gè)法向量是,

          所以共線.從而BE⊥平面PAB.

          又因?yàn)?sub>平面PBE,

          故平面PBE⊥平面PAB.

             (Ⅱ)易知  

                 設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量,則由

          所以

                設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量,則由

          所以故可取

                于是,

                故平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小是

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (湖南卷理17)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,∠BCD=60°,ECD的中點(diǎn),PA⊥底面ABCD,PA=2.

            (Ⅰ)證明:平面PBE⊥平面PAB;

          (Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小.

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