Question

如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，F(xiàn)A=FE，∠AEF=45°
（I）求證：EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M，求證：PM∥平面BCE；
（Ⅲ）求二面角F-BD-A的大小．

Answer 1

分析：（1）欲證EF⊥平面BCE，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證EF⊥BE，BC⊥EF，BC∩BE=B，根據(jù)條件很顯然；
（2）取BE的中點(diǎn)N，連接CN，MN，易證PM∥CN，根據(jù)線面平行的判定定理很快得證；
（3）作FG⊥AB，交BA的延長線于G，作GH⊥BD于H，連接FH，易證∠FHG為二面角F-BD-A的平面角，在Rt△FGH中求出此角即可．

解答：解：因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF
所以BC⊥EF
因?yàn)椤鰽BE為等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因?yàn)椤螦EF=45，
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE
因?yàn)锽C?平面ABCD，BE?平面BCE，
BC∩BE=B
所以EF⊥平面BCE

（ II）取BE的中點(diǎn)N，連接CN，MN，則MN=

1

2

AB=PC
∴PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN
∵CN在平面BCE內(nèi)，PM不在平面BCE內(nèi)，
∴PM∥平面BCE．

（III）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知EA⊥平面ABCD、
作FG⊥AB，交BA的延長線于G，則FG∥EA、從而FG⊥平面ABCD，
作GH⊥BD于H，連接FH，則由三垂線定理知BD⊥FH、
∴∠FHG為二面角F-BD-A的平面角、
∵FA=FE，∠AEF=45°，
∠AEF=90°，∠FAG=45°、
設(shè)AB=1，則AE=1，AF=

2

2

，則FG=AF•sinFAG=

1

2

在Rt△BGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+

1

2

=

3

2

，
GH=BG•sinGBH=

3

2

•

2

2

=

3 2

4

，
在Rt△FGH中，tanFHG=

FG

GH

=

2

3

，
∴二面角F-BD-A的大小為arctan

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．