Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sin(

x

2

+

π

4

)cos(

x

2

+

π

4

)-sin(x+π)．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若將f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、誘導公式、兩角和的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求f（x）的最小正周期；
（2）將f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位，求出函數(shù)g（x）的解析式，然后在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin(x+

π

2

)+sinx=

3

cosx+sinx（2分）
=2(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=2sin(x+

π

3

)．（4分）
所以f（x）的最小正周期為2π．（6分）
（2）∵將f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，
∴g(x)=f(x-

π

6

)=2sin[(x-

π

6

)+

π

3

]=2sin(x+

π

6

)．（8分）
∵x∈[0，π]時，x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，（10分）
∴當x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，sin(x+

π

6

)=1，g（x）取得最大值2．（11分）
當x+

π

6

=

7π

6

，即x=π時，sin(x+

π

6

)=-

1

2

，g（x）取得最小值-1．（13分）

點評：本小題主要考查了三角函數(shù)中誘導公式、兩角和與差的正余弦公式、二倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象，以及圖象變換等基礎知識，考查了化歸思想和數(shù)形結合思想，考查了運算能力．