Question

(1)設(shè)a＞b＞0,求證:.

(2)已知0＜α＜π,證明2sin2α≤cot,并指出等號成立的條件.

Answer 1

證明：(1)要證,

∵a＞b＞0,有＞0,

∴需證()³＞()³,

展開得a-b＞a-+,

即證明＞0,

也就是證＞0,

在題設(shè)條件下這一不等式顯然成立,

∴原不等式成立.

(2)要證2sin2α≤cot,

由0＜α＜π知sinα＞0,

只需證2sinα·sin2α≤1+cosα,

即證明4sin²αcosα-(1+cosα)≤0,

也就是證(1+cosα)［4(1-cosα)cosα-1］≤0,

而1+cosα＞0,于是只要證-4cos²α+4cosα-1≤0,

即-(2cosα-1)²≤0,

就是(2cosα-1)²≥0,這是顯然的.

∴2sin2α≤cot,等號在2cosα=1,α=時取得.