Question

定義：若數(shù)列對(duì)任意，滿(mǎn)足（為常數(shù)），稱(chēng)數(shù)列為等差比數(shù)列.
(1)若數(shù)列前項(xiàng)和滿(mǎn)足，求的通項(xiàng)公式，并判斷該數(shù)列是否為等差比數(shù)列；
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，試判斷是否一定為等差比數(shù)列，并說(shuō)明理由；
(3)若數(shù)列為等差比數(shù)列，定義中常數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為， 求證：.

Answer 1

（1）數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列
（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差比數(shù)列；  
當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，數(shù)列不是等差比數(shù)列..
（3）

試題分析：解：（1）當(dāng)時(shí)，，則
當(dāng)時(shí)，，則
數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，

數(shù)列是等差比數(shù)列。
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則,
當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差比數(shù)列；  
當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，數(shù)列不是等差比數(shù)列.
由 
知數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
 ,

 ,   
   ①
①得      ②
①②得
 
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系來(lái)得到通項(xiàng)公式以及錯(cuò)位相減法求和，屬于基礎(chǔ)題。