Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

，且經(jīng)過點M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l不過點M，求證：直線MA、MB的斜率互為相反數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率，橢圓經(jīng)過點M和隱含條件a²=b²+c²聯(lián)立解方程組可求得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）直接把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后由判別式大于0即可求得m的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)出兩直線斜率，把兩直線的斜率和轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的兩個交點的坐標之間的關(guān)系，利用根與系數(shù)關(guān)系代入化簡整理即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，因為e=

3

2

，所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，
所以a²=4b²，
又因為M（4，1）在橢圓上，所以

16

a2

+

1

b2

=1，兩式聯(lián)立解得b²=5，a²=20，
故橢圓方程為

x2

20

+

y2

5

=1；
（Ⅱ）將y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，
△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5；
（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，只要證明k₁+k₂=0即可．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4m2-20

5

．      
k1+k2=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

．
分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8(m-1)=0．
所以直線MA、MB的斜率互為相反數(shù)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．