Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-（2a+1）x²+3a（a+2）x+1．a∈R．
（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；
（2）當函數y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零點時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定切點的坐標與切線的斜率，即可求得切線方程；
（2）求導函數，并因式分解，得到方程的兩個根，進而分類討論，利用函數y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零點，建立不等式，即可求得結論．

解答：解：（1）當a=0時，f(x)=

1

3

x3-x2+1，
∴f（3）=1，
∵f'（x）=x²-2x-----------------------------（2分）
∴曲線在點（3，1）處的切線的斜率k=f'（3）=3
∴所求的切線方程為y-1=3（x-3），即y=3x-8----------------（4分）
（2）∵f'（x）=x²-2（2a+1）x+3a（a+2）=（x-3a）（x-a-2）
∴x₁=3a，x₂=a+2-----------------------------------------------（6分）
①當x₁=x₂時，3a=a+2，解得a=1，這時x₁=x₂=3，函數y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零點，故a=1為所求；（7分）
②當x₁＞x₂時，即3a＞a+2⇒a＞1，這時x₁＞x₂＞3，
又函數y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零點，
∴

3＜x2＜4 x1≥4.

⇒

3＜a+2＜4 3a≥4.

⇒

4

3

≤a＜2，-----------------------（10分）
③當x₁＜x₂時，即a＜1，這時x₁＜x₂＜3
又函數y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零點，
∴

x1≤0 0＜x2＜3.

⇒

3a≤0 0＜a+2＜3.

⇒-2＜a≤0------------------------（13分）
綜上得當函數y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零點時，-2＜a≤0或

4

3

≤a＜2或a=1．----------------（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的零點，考查分類討論的數學思想，正確求導，合理分類是關鍵．