Question

數(shù)列{a_n}中，若存在常數(shù)M，?n∈N*，均有|a_n|≤M，稱數(shù)列{a_n}是有界數(shù)列；把Ln=

n

i=1

|ai+1-ai|(n∈N*)叫數(shù)列{a_n}的前n項鄰差和，數(shù)列{L_n}叫數(shù)列{a_n}的鄰差和數(shù)列．
（1）若數(shù)列{a_n}滿足，?n∈N*，均有|a_n+3|+|a_n-1|≤6恒成立，試證明：{a_n}是有界數(shù)列；
（2）試判斷公比為q的正項等比數(shù)列{a_n}的鄰差和數(shù)列{L_n}是否為有界數(shù)列，證明你的結論；
（3）已知數(shù)列{a_n}、{b_n}的鄰差和{L_n}與{L'_n}均為有界數(shù)列，試證明數(shù)列{a_nb_n}的鄰差和數(shù)列{L''_n}也是有界數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）利用零點，將絕對值符號化去，則式子|a_n+3|+|a_n-1|≤6可化為

an≤-3 -an-3-an+1≤6

⇒-4≤an≤-3或

-3＜an＜1 an+3-an+1≤6

⇒-3＜an＜1或

an≥1 an+3+an-1≤6

⇒1≤an≤2，由此可知{a_n}是有界數(shù)列．  
（2）由依題a_n＞0，q＞0，a_n=a₁q^n-1，于是|a_n+1-a_n|=|a₁qⁿ-a₁q^n-1|=a₁q^n-1|q-1|，n≥1，利用有界數(shù)列的定義，對公比q進行分類討論即可
（3）若數(shù)列{a_n}、{b_n}是有界數(shù)列，則存在正數(shù)M₁．M₂，對任意的n∈N^•，有Ln=

n

i=1

|ai+1-ai|≤M1，L′n=

n

i=1

|bi+1-bi|≤M2，利用|a_n|=|a_n-a_n-1+a_n-1+a_n-2+…+a₂-a₁+a₁|≤|a_n-a_n-1|+|a_n-1-a_n-2|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤M₁+|a₁|，|b_n|≤M₂+|b₁|，K₁=M₁+|a₁|，K₂=M₂+|b₂|，利用鄰差和的定義即可證數(shù)列{a_nb_n}的鄰差和數(shù)列{L''_n}也是有界數(shù)列．

解答：解：（1）式子|a_n+3|+|a_n-1|≤6可化為

an≤-3 -an-3-an+1≤6

⇒-4≤an≤-3…（1分）
或

-3＜an＜1 an+3-an+1≤6

⇒-3＜an＜1…（2分）
或

an≥1 an+3+an-1≤6

⇒1≤an≤2…（3分）
綜上可知-4≤a_n≤2，從而|a_n|≤4，故{a_n}是有界數(shù)列．  …（4分）
（2）由依題a_n＞0，q＞0，a_n=a₁q^n-1，于是|a_n+1-a_n|=|a₁qⁿ-a₁q^n-1|=a₁q^n-1|q-1|，n≥1
當q=1時，顯然L_n=0，故{L_n}為有界數(shù)列；      …（5分）
當q≠1時，Ln=

n

i=1

|ai+1-ai|=

n

i=1

a1qi-1|q-1|=a1|q-1|

n

i=1

qi-1
=a₁|q-1|（1+q+q²+…+q^n-1）=a1|q-1|•

1-qn

1-q

當0＜q＜1時，|L_n|=L_n=a₁（1-qⁿ）＜a₁，故{L_n}為有界數(shù)列；   …（7分）
當q＞1時，?常數(shù)M（M＞0），?n∈N^*，當n＞logq(1+

M

a1

)時，有L_n＞M，此時{L_n}不是有界數(shù)列；        …（8分）
綜上可知，當0＜q≤1時，{L_n}為有界數(shù)列，當q＞1時，{L_n}不是有界數(shù)列．…（9分）
（3）若數(shù)列{a_n}{b_n}是有界數(shù)列，則存在正數(shù)M₁，M₂，對任意的n∈N^*，有Ln=

n

i=1

|ai+1-ai|≤M1，L′n=

n

i=1

|bi+1-bi|≤M2…（10分）
注意到|a_n|=|a_n-a_n-1+a_n-1+a_n-2+…+a₂-a₁+a₁|≤|a_n-a_n-1|+|a_n-1-a_n-2|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤M₁+|a₁|…（11分）
同理：|b_n|≤M₂+|b₁|
記K₁=M₁+|a₁|，K₂=M₂+|b₂|
|a_n+1b_n+1-a_nb_n|=|a_n+1b_n+1-a_nb_n+1+a_nb_n+1-a_nb_n|≤|b_n+1||a_n+1-a_n|+|a_n||b_n+1-b_n|≤K₂|a_n+1-a_n|+K₁|b_n+1-b_n|…（12分）
因此 |Ln|=Ln=

n

i=1

|ai+1bi+1-aibi|≤

n

i=1

K2|an+1-an|+

n

i=1

K1|bn+1-bn|=K2

n

i=1

|an+1-an|+K1

n

i=1

|bn+1-bn|≤K2M1+K1M2
故數(shù)列{a_nb_n}的鄰差和數(shù)列{L''_n}也是有界數(shù)列．         …（14分）

點評：本題以數(shù)列為載體，考查新定義，考查分類討論思想，同時考查放縮法的運用，解題的關鍵是理解新定義，正確運用新定義解題．