Question

為倡導低碳生活，某節(jié)能產(chǎn)品生產(chǎn)廠家擬舉行消費者購買產(chǎn)品獲補貼的優(yōu)惠活動，若廠家投放A、B兩種型號產(chǎn)品的價值分別為a、b萬元，則消費者購買產(chǎn)品獲得相應的補貼分別為

1

10

a，mlnb(b+1)萬元（m＞0且為常數(shù)）．已知廠家把總價值為10萬元的A、B兩種型號的產(chǎn)品投放到市場，且A、B兩種型號的投放金額都不低于1萬元．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln4=1.4）
（1）設(shè)投放B型產(chǎn)品的金額為x萬元，請你將這次活動中消費者得到的總補貼表示為x的函數(shù)，并求其定義域；
（2）當m=

2

5

時，當投放B型產(chǎn)品的金額為多少萬元時，消費者得到的總補貼最多，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）當設(shè)投放B型產(chǎn)品的金額的x萬元，則投放A型產(chǎn)品的金額為（10-x）萬元，即可得到農(nóng)民得到的總補貼的函數(shù)解析式，寫出定義域；
（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，然后判定極值點左右的導數(shù)符號，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）當投放B型產(chǎn)品的金額的x萬元時，投放A型產(chǎn)品的金額為（10-x）萬元，消費者得到的總補貼為f（x）
f（x）=

1

10

（10-x）+mln（x+1）=mln（x+1）-

x

10

+1，1≤x≤9
（2）當m=

2

5

時，消費者得到的總補貼為y=

2

5

ln（x+1）-

x

10

+1，x∈[1，9]
y′=

2

5(x+1)

-

1

10

=

3-x

10(x+1)

，令y′=0得x=3
當x∈[1，3]時，y′＞0，當x∈（3，9]時，y′＜0
∴x=3時，y取最大值y_max=

2

5

ln4+

7

10

≈1.3
即廠家分別投放A、B兩種產(chǎn)品7萬元與3萬元時，消費者得到的總補貼最多，最多補貼約為1.3萬元．

點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應用，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值，考查運算求解能力，屬于中檔題．