Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．

（1）(本小題滿分7分)選修4—2：矩陣與變換

已知二階矩陣有特征值及對應(yīng)的一個特征向量．

（Ⅰ）求矩陣；

（Ⅱ）設(shè)曲線在矩陣的作用下得到的方程為，求曲線的方程．

（2）(本小題滿分7分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），若圓在以該直角坐標(biāo)系的原點為極點、軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系下的方程為．

（Ⅰ）求曲線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點是曲線上的動點，點是圓上的動點，求的最小值．

（3）(本小題滿分7分)選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)_，不等式在上恒成立．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）記的最大值為，若正實數(shù)滿足，求的最大值．

Answer 1

（1）本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分7分．

解：（Ⅰ）=，∴

解得∴.                         …………………4分

（Ⅱ）設(shè)點為曲線上的任一點，它在矩陣的作用下得到的點為，

則，所以

代入得，

所以所求的曲線方程為.     .…………………………7分

（2）本題主要考查直線和圓的參數(shù)方程及極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分7分．

解：（Ⅰ）曲線的直角坐標(biāo)方程為，

圓的直角坐標(biāo)方程為.                …………………4分（Ⅱ）求的最小值可轉(zhuǎn)化為求的最小值.

過圓心作射線的垂線，垂足在該射線的反向延長線上，

當(dāng)點在射線的端點時，，

此時的長最小，故此時取最小值.

所以所求的最短距離為.                       …………………7分

（3）本題主要考查利用絕對值不等式的基本性質(zhì)求解和證明不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分7分．

解：（Ⅰ），

.                                    …………………2分

不等式在R上恒成立，

， 的取值范圍為.            …………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

由柯西不等式得：，

.                                …………………5分

當(dāng)且僅當(dāng)即時，

的最大值為.                         …………………7分