Question

甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個問題，答對者對本隊(duì)贏得一分，答錯得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對的概率均為

2

3

，乙隊(duì)中3人答對的概率分別為

2

3

，

2

3

，

1

2

，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊(duì)的總得分．
（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙兩個隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P（AB）．

Answer 1

分析：（1）由題意甲隊(duì)中每人答對的概率均為

2

3

，故可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故ξ～B(3，

2

3

)，Eξ=3×

2

3

=2
（2）AB為“甲、乙兩個隊(duì)總得分之和等于3”和“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”同時滿足，有兩種情況：“甲得（2分）乙得（1分）”和“甲得（3分）乙得0分”這兩個事件互斥，分別求概率，再取和即可．

解答：解：（Ⅰ）解法一：由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且P(ξ=0)=

C

0 3

×(1-

2

3

)3=

1

27

，P(ξ=1)=

C

1 3

×

2

3

×(1-

2

3

)2=

2

9

，P(ξ=2)=

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)=

4

9

，P(ξ=3)=

C

3 3

×(

2

3

)3=

8

27

．
所以ξ的分布列為

ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．

解法二：根據(jù)題設(shè)可知，ξ～B(3，

2

3

)，
因此ξ的分布列為P(ξ=k)=

C

k 3

×(

2

3

)k×(1-

2

3

)3-k=

C

k 3

×

2k

33

，k=0，1，2，3．
因?yàn)?span id="lnendf2" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">ξ～B(3，

2

3

)，所以Eξ=3×

2

3

=2．
（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得（2分）乙得（1分）”這一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”這一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又P(C)=

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)×[

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

]=

10

34

，P(D)=

C

3 3

×(

2

3

)3×(

1

3

×

1

3

×

1

2

)=

4

35

，
由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=

10

34

+

4

35

=

34

35

=

34

243

．
解法二：用A_k表示“甲隊(duì)得k分”這一事件，用B_k表示“乙隊(duì)得k分”這一事件，k=0，1，2，3．
由于事件A₃B₀，A₂B₁為互斥事件，故有P（AB）=P（A₃B₀∪A₂B₁）=P（A₃B₀）+P（A₂B₁）．
由題設(shè)可知，事件A₃與B₀獨(dú)立，事件A₂與B₁獨(dú)立，因此P（AB）=P（A₃B₀）+P（A₂B₁）=P（A₃）P（B₀）+P（A₂）P（B₁）=(

2

3

)3×(

1

32

×

1

2

)+

C

2 3

×

22

32

×

1

3

(

1

2

×

1

32

+

1

2

×

C

1 2

×

2

32

)=

34

243

．

點(diǎn)評：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布、期望、及互斥事件、獨(dú)立事件的概率問題，同時考查利用概率知識分析問題解決問題的能力．在求解過程中，注意P（AB）=P（A）P（B）只有在A和B獨(dú)立時才成立．