Question

（2012•許昌三模）已知函數(shù)f（x）=e^x，曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程為y=g（x）．
（Ⅰ）證明：對(duì)?x∈R，f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1+

ax

1+x

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出切線方程，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）分類討論：當(dāng)a≤1時(shí)，可得x≥0時(shí)，f（x）≥1+

ax

1+x

恒成立；（2）當(dāng)a＞1時(shí)，令H（x）=（f（x）-1）（x+1）-ax=（e^x-1）（x+1）-ax，可證明存在區(qū)間（0，x₀）使得H'（x）＜0，H（x）單調(diào)遞減，使得H（x）＜H（0）=0，從而可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：由題意知g(x)=ex0(x-x0)+ex0----（2分）
令h(x)=f(x)-g(x)=ex-ex0(x-x0+1)，則h′(x)=ex-ex0，----（3分）
當(dāng)x＜x₀時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞x₀時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；----（5分）
故h（x）≥h（x₀）=0，即f（x）≥g（x）．----（6分）
（Ⅱ）解：（1）當(dāng)a≤1時(shí)，由（Ⅰ）知，當(dāng)x₀=0得e^x≥x+1．----（7分）
故f(x)-1-

ax

1+x

=ex-1-

ax

1+x

≥x- ax 1+x = x(x+1-a) 1+x ≥0

．----（9分）
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，令H（x）=（f（x）-1）（x+1）-ax=（e^x-1）（x+1）-ax，
則H'（x）=e^x（2+x）-1-a，
令F（x）=H'（x）=e^x（2+x）-1-a，則F'（x）=e^x（3+x）＞0，
故H'（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，而H'（0）=1-a＜0，
故存在區(qū)間（0，x₀）使得H'（x）＜0，H（x）單調(diào)遞減，使得H（x）＜H（0）=0．
與f(x)≥1+

ax

1+x

在[0，+∞）上恒成立矛盾．----（11分）
綜上可得a≤1．----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查不等式的證明，考查恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．