Question

正實數(shù)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=5，且{a_n²}成等差數(shù)列．
（1）證明數(shù)列{a_n}中有無窮多項為無理數(shù)；
（2）當(dāng)n為何值時，a_n為整數(shù)，并求出使a_n＜200的所有整數(shù)項的和．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a₂=5且{a_n²}成等差數(shù)列，求出a_n²的通項公式，由通項公式分析出無理數(shù)；
（2）由a_n的表達(dá)式討論使a_n＜200的整數(shù)項，從而求出所有整數(shù)項的和．

解答：（1）證明：由已知有：a_n²=1+24（n-1），從而an=

1+24(n-1)

，
方法一：取n-1=24^2k-1，則an=

1+242k

(k∈N+)
用反證法證明這些a_n都是無理數(shù)．
假設(shè)an=

1+242k

為有理數(shù)，則a_n必為正整數(shù)，且a_n＜24^k，
故a_n-24^k≥1．a(chǎn)_n-24^k＞1，與（a_n-24^k）（a_n+24^k）=1矛盾，
所以an=

1+242k

(k∈N+)都是無理數(shù)，即數(shù)列a_n中有無窮多項為無理數(shù)；
（2）要使a_n為整數(shù)，由（a_n-1）（a_n+1）=24（n-1）可知：
a_n-1，a_n+1同為偶數(shù)，且其中一個必為3的倍數(shù)，所以有a_n-1=6m或a_n+1=6m
當(dāng)a_n=6m+1時，有a_n²=36m²+12m+1=1+12m（3m+1）（m∈N）
又m（3m+1）必為偶數(shù)，所以a_n=6m+1（m∈N）滿足a_n²=1+24（n-1）
即n=

m(3m+1)

2

+1（m∈N）時，a_n為整數(shù)；
同理a_n=6m-1（m∈N⁺）有a_n²=36m²-12m+1=1+12（3m-1）（m∈N⁺）
也滿足a_n²=1+24（n-1），即n=

m(3m-1)

2

+1（m∈N⁺）時，a_n為整數(shù)；
顯然a_n=6m-1（m∈N⁺）和a_n=6m+1（m∈N）是數(shù)列中的不同項；
所以當(dāng)n=

m(3m+1)

2

+1（m∈N）和n=

m(3m-1)

2

+1（m∈N⁺）時，a_n為整數(shù)；
由a_n=6m+1＜200（m∈N）有0≤m≤33，
由a_n=6m-1＜200（m∈N⁺）有1≤m≤33．
設(shè)a_n中滿足a_n＜200的所有整數(shù)項的和為S，則
S=（5+11+…+197）+（1+7+…+199）=

5+197

2

×33+

1+199

2

×34=6733

點評：對一個正整數(shù)數(shù)能否寫成另一個整數(shù)的平方的形式，是難點；對整數(shù)的奇偶性分析也是難點；故此題是中檔題．