Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）過(guò)圓上的任一點(diǎn)作圓的一條切線交橢圓C與A、B兩點(diǎn)
①求證：
②求|AB|的取值范圍

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，則由題意可得：
，所以橢圓的方程為；
（Ⅱ）①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為
或滿足
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，可設(shè)的方程為.解方程組得,即, w.w.w.zxxk.c.o.m   
則△=,即
,



②由①可知：



當(dāng)時(shí)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c6/0/ckbvm1.gif" style="vertical-align:middle;" />所以,
所以,
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”
當(dāng)時(shí),.
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),
綜上, |AB |的取值范圍為即:

解析