Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)相同，若過(guò)右焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則此雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)的取值范圍是（　�。�

• A、（2，4）
• B、（2，4]
• C、[2，4）
• D、（2，+∞）

Answer 1

分析：要使直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即

b

a

＜1，求得a和b的不等式關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)b=

c2-a2

轉(zhuǎn)化成a和c的不等式關(guān)系，求得離心率的一個(gè)范圍，最后根據(jù)雙曲線的離心率大于1，綜合可得求得e的范圍．

解答：解：橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的半焦距c=4．
要使直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，
即

b

a

＜tan60°=

3

，
即b＜

3

a
∴

c2-a2

＜

3

a，
整理得c＜2a
∴a＞2，
又a＜c=4
則此雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)的取值范圍是（2，4）
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓錐曲線的共同特征．在求雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)的取值范圍時(shí)，注意其值要小于4．