Question

【題目】如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱ADE﹣BCF和一個正四棱錐P﹣ABCD組合而成，AD⊥AF，AE=AD=2． （Ⅰ）證明：平面PAD⊥平面ABFE；
（Ⅱ）求正四棱錐P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是 ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵幾何體是由一個直三棱柱ADE﹣BCF和一個正四棱錐P﹣ABCD組合而成，

∴AD⊥AF，AD⊥AB，

又AF∩AB=A，

∴AD⊥平面ABEF，

又AD平面PAD，

∴平面PAD⊥平面ABFE．

（Ⅱ）解：以A 為原點，AB、AE、AD的正方向為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz

設正四棱棱的高為h，AE=AD=2，

則A（0，0，0），F(xiàn)（2，2，0），C（2，0，2），P（1，﹣1，1）

設平面ACF的一個法向量 =（x，y，z），

=（2，2，0）， =（2，0，2），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，﹣1），

設平面ACP的一個法向量 =（a，b，c），

則 ，取b=1，則 =（﹣1，1，1+h），

二面角C﹣AF﹣P的余弦值 ，

∴|cos＜ ＞|= = = ，

解得h=1．

【解析】（Ⅰ）推導出AD⊥AF，AD⊥AB，從而AD⊥平面ABEF，由此能證明平面PAD⊥平面ABFE．（Ⅱ）以A 為原點，AB、AE、AD的正方向為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能求出h的值．