Question

（2012•湖北模擬）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線2x²-2y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若M為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，MF₂為半徑做圓M．若圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定雙曲線2x²-2y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），利用|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|，可知P點(diǎn)的軌跡是橢圓，從而可求C的方程；
（2）設(shè)M（x₀，y₀），d=|x₀|，r=

(x0-1)2+ y 2 0

，根據(jù)圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得|x0|＜

(x0-1)2+ y 2 0

，利用

x02

4

+

y02

3

=1，可的3

x

2 0

+8x0-16＜0，從而可求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答：解：（1）雙曲線2x²-2y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|，
∴P點(diǎn)的軌跡是橢圓，其中a=2，c=1，則b=

3

，
∴C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（6分）
（2）設(shè)M（x₀，y₀），d=|x₀|，r=

(x0-1)2+ y 2 0

∵圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴d＜r，
即|x0|＜

(x0-1)2+ y 2 0

，
∴

x

2 0

＜(x0-1)2+y02，
又

x02

4

+

y02

3

=1，即

y

2 0

=3(1-

x 2 0

4

)，
∴

x

2 0

＜(x0-1)2+3(1-

x 2 0

4

)，
∴3

x

2 0

+8x0-16＜0，
∴（3x₀-4）（x₀+4）＜0
∴-4＜x0＜

4

3

，（12分）
又-2≤x₀≤2，∴-2≤x0＜

4

3

（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓與橢圓的綜合，解題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義，建立不等關(guān)系，屬于中檔題．