Question

（2012•珠海一模）矩形ABCD中，2AB=AD，E是AD中點，沿BE將△ABE折起到△A′BE的位置，使A′C=A′D，F(xiàn)、G分別是BE、CD中點．
（1）求直線A′F與直線CD所成角的大�。�
（2）求直線A′E與平面AFG所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由F、G分別是BE、CD中點得到FG⊥CD，再由A′C=A′D得到A′G⊥CD，由線面垂直的判定得到CD⊥面A^′GF，最后由線面垂直的性質(zhì)得到直線A′F與直線CD所成角的大��；
（2）在（1）的基礎上，結(jié)合A^′F⊥BE可得A′F⊥面ABCD，從而說明∠A^′EF為A′E與平面AFG所成角，由已知條件可得該角為

π

4

，正切值可求．

解答：解：（1）如圖，矩形ABCD中，∵F、G分別是BE、CD中點，
∴FG∥BC，F(xiàn)G⊥CD．
∵A′C=A′D，∴A′G⊥CD．
∵FG?平面A^′GF，A^′G?平面A^′GF，F(xiàn)G∩A^′G=G，
∴CD⊥平面A′GF．
又A^′F?平面A^′GF，
∴CD⊥A^′F．
∴A'F與CD所成角為90度；
（2）∵CD⊥A′F，
設A′E=AE=AB=A′B=a，
∴A′F⊥EB．
∵CD和BE不平行，∴A′F⊥平面BCDE．
則∠A^′EF為A′E與平面AFG所成角．
∵∠A′EF=∠AEF=

π

4

，
∴tan∠A′EF=tan

π

4

=1．
所以直線A′E與平面AFG所成角的正切值等于1．

點評：本題考查了異面直線及其夾角，考查了線面角，考查了學生的空間想象和思維能力，解答此題的關鍵是掌握折疊問題中的變量和不變量，屬中檔題．