Question

橢圓的長軸長為4，焦距為2，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡 的方程。

（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求的面積。

（3）設(shè)軌跡與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在軌跡上，

滿足求證：直線恒過軸上的定點(diǎn)。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題設(shè)知：2a = 4，即a = 2，2c=2，即c=1，

故橢圓方程為，       ………2分

∵M(jìn)P=MF₂，

∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F₁（1，0）的距離，

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是C為l₁準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線 

∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為    …………5分

（2）  消去 并整理得： 

     設(shè)  則   ---------------7分

      =-----------9分

（3）Q（0，0），設(shè)     ------------10分

  

          ---------------------------11分

 

 

 ----------------13  分         

 故直線RS恒過定點(diǎn)（4，0）-------------------------------------------------------14分

【解析】略