Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，

2

）且與x軸交于點(diǎn)F（2，0）．
（1）求直線l的方程．
（2）如果橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且以點(diǎn)F為它的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（3）若在（1）、（2）的情況下，設(shè)直線l與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，且

PM

=λ•

PQ

，當(dāng)|

OM

|取最小值時(shí)，求λ的對(duì)應(yīng)值．

Answer 1

（1）直線方程為

y

x-2

=

2

1

，整理，得y=

2

(x-2)；                              
（2）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，（5分）
依題意有：

9 a2 + 2 b2 =1 a2-4=b2

，解之得

a2=12 b2=8

所求橢圓方程為：

x2

12

+

y2

8

=1…（8分）
（3）由

x2 12 + y2 8 =1 y= 2 (x-2)

消去y得，x²-3x=0，
所以，x=0或x=3，代回直線方程可得y=-2

2

，或y=

2

因此知Q(0，-2

2

)，P(3，

2

)，（10分）
由

PM

=λ•

PQ

知，點(diǎn)M在直線PQ上，
當(dāng)|

OM

|最小時(shí)，OM⊥PQ，此時(shí)OM的方程為y=-

1

2

x（12分）
由

y= 2 (x-2) y=- 1 2 x

解得M(

4

3

，-

2 2

3

)，（14分）
代入

PM

=λ•

PQ

得λ=

5

9

所以，當(dāng)|

OM

|最小時(shí)，λ=

5

9

．