Question

定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是π，且當(dāng)時，f（x）=sinx
（1）求當(dāng)x∈[-π，0]時f（x）的解析式
（2）畫出函數(shù)f（x）在[-π，π]上的函數(shù)簡圖
（3）求當(dāng)時，x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先取x，得到，把-x代入時的解析式，結(jié)合偶函數(shù)的概念可求得
x時的解析式，然后再取x，加π后得到x+π∈，代入時的解析式，
結(jié)合周期函數(shù)的概念求解f（x）；
（2）作出函數(shù)在[-π，0]上的圖象，根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸軸對稱得到函數(shù)在[0，π]上的圖象；
（3）先求出[-π，0]上滿足的x的取值范圍，根據(jù)函數(shù)是以π為周期的周期函數(shù)，把得到的區(qū)間端點值加上π的整數(shù)倍得到要求解的區(qū)間．
解答：（1）因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x）
而當(dāng)x∈時，f（x）=sinx，所以x時，，
f（x）=f（-x）=sin（-x）=-sinx．
又當(dāng)x時，x+π∈，
因為f（x）的周期為π，所以f（x）=f（π+x）=sin（π+x）=-sinx．
所以當(dāng)x∈[-π，0]時f（x）=-sinx．
（2）函數(shù)圖象如圖，

（3）由于f（x）的最小正周期為π，
因此先在[-π，0]上來研究，即．
所以．所以，．
由周期性知，當(dāng)時，（k∈Z）．
所以，當(dāng)時，x的取值范圍是（k∈Z）．
點評：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了三角函數(shù)的周期及圖象，考查了三角函數(shù)的奇偶性，解答此題的關(guān)鍵是，通過周期變換和平移變換、把要求解解析式的范圍內(nèi)的變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的范圍內(nèi)，此題是中檔題．