Question

a

=(x2，2)，

b

=(x，1)
（1）若

a

∥

b

，求x；
（2）若函數(shù)f(x)=

a

•

b

對應(yīng)的圖象記為C
（I）求曲線C在A（1，3）處的切線方程？
（II）若直線l為曲線C的切線，并且直線l與曲線C有且僅有一個公共點，求所有這樣直線l的方程？

Answer 1

（1）∵

a

=(x2，2)，

b

=(x，1)，且

a

∥

b

∴x²•1=2•x，解之得x=0或2
（2）f(x)=

a

•

b

=x²•x+1×2=x³+2
（I）對f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=3x²，
∴曲線C：y=f（x）在A（1，3）處切線的斜率k=f'（1）=3
結(jié)合直線的點斜式方程，得切線方程是y-3=3（x-1），即y=3x．
（II）設(shè)切點坐標(biāo)P（t，t³+2），得在點P處切線的斜率k=f'（t）=3t²．
∴曲線C在點P處的切線方程為y-（t³+2）=3t²（x-t），即y=3t²x-2t³+2
由

y=3t2x-2t3+2 y=x3+2

得3t²x-2t³+2=x³+2，即x³-3t²x+2t³=0
∴（x-t）²（x+2t）=0，
因為切線與曲線C有且僅有一條一個公共點，所以只有t=0時以上方程有相等的實數(shù)根，此時l方程為y=2
∴存在直線l為曲線C的切線，并且直線l與曲線C有且僅有一個公共點，此時切線方程為y=2．