Question

（2012•山東）如圖，橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8．
（Ⅰ）求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓M有兩個不同的交點P，Q，l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T．求

|PQ|

|ST|

的最大值及取得最大值時m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過橢圓的離心率，矩形的面積公式，直接求出a，b，然后求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ） 通過

x2+4y2=4 y=x+m

⇒5x2+8mx+4m2-4=0，利用韋達定理求出|PQ|的表達式，通過判別式推出的m的范圍，①當-

5

＜m＜-1時，求出

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．利用由對稱性，推出1＜m＜

5

，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．③當-1≤m≤1時，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．求

|PQ|

|ST|

的最大值及取得最大值時m的值．

解答：解：（I）e=

c

a

=

3

2

⇒

a2-b2

a2

=

3

4

…①
矩形ABCD面積為8，即2a•2b=8…②
由①②解得：a=2，b=1，
∴橢圓M的標準方程是

x2

4

+y2=1．
（II）

x2+4y2=4 y=x+m

⇒5x2+8mx+4m2-4=0，
由△=64m²-20（4m²-4）＞0得-

5

＜m＜

5

．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

8

5

m，x1x2=

4m2-4

5

，
|PQ|=

2

(- 8 5 m)2-4 4m2-4 5

=

4 2

5

5-m2

．
當l過A點時，m=1，當l過C點時，m=-1．
①當-

5

＜m＜-1時，有S(-m-1，-1)，T(2，2+m)，|ST|=

2

(3+m)，

|PQ|

|ST|

=

4

5

5-m2 (3+m)2

=

4

5

- 4 t2 + 6 t -1

，
其中t=m+3，由此知當

1

t

=

3

4

，即t=

4

3

，m=-

5

3

∈(-

5

，-1)時，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．
②由對稱性，可知若1＜m＜

5

，則當m=

5

3

時，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．
③當-1≤m≤1時，|ST|=2

2

，

|PQ|

|ST|

=

2

5

5-m2

，
由此知，當m=0時，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．
綜上可知，當m=±

5

3

或m=0時，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，韋達定理以及判別式的應(yīng)用，設(shè)而不求的解題方法，考查分析問題解決問題，計算能力．