Question

拋物線y²＝4px(p＞0)的準線與x軸交于M點，過點M作直線l交拋物線于A、B兩點．

(1)若線段AB的垂直平分線交x軸于N(x₀，0)，比較x₀與3p大小；

(2)若直線l的斜率依次為p，p²，p³，…，線段AB的垂直平分線與x軸的交點依次為N₁，N₂，N₃，…，求＋＋…＋的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)直線l方程為y＝k(x＋p)，代入y2＝4px． 　　得k2x2＋(2k2p－4p)x＋k2p2＝0．Δ＝4(k2p－2p)2－4k2·k2p2＞0，得0＜k2＜1． 　　令A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2＋2p)＝， 　　AB中點坐標為(，)．AB垂直平分線為y－＝－(x－)． 　　令y＝0，得x0＝＝p＋．由上可知0＜k2＜1，∴x0＞p＋2p＝3p．∴x0＞3p． 　　(2)解：∵l的斜率依次為p，p2，p3，…時，AB中垂線與x軸交點依次為N1，N2，N3，…． 　　∴點Nn的坐標為(p＋，0)． 　　|NnNn+1|＝|(p＋)－(p＋)|＝，＝， 　　所求的值為[p3＋p4＋…＋p21]＝，因為0＜k2＜1，所以0＜P＜1