Question

若， (為常數(shù)).函數(shù)定義為：對每個給定的實數(shù)，

（Ⅰ）求對所有實數(shù)成立的充要條件（用表示）；

（Ⅱ）設(shè)為兩實數(shù)，滿足，且,若，

求證：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為（閉區(qū)間的長度定義為）．

Answer 1

本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象以及命題之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力.

解：（1）由的定義可知，（對所有實數(shù)）等價于

（對所有實數(shù)）這又等價于，即

對所有實數(shù)均成立.        （*）

  由于，故其最大值為，

  故（*）等價于，即，這就是所求的充分必要條件。

（2）分兩種情形討論

     （i）當(dāng)時，由（1）知（對所有實數(shù)），

則由及易知，

再由的單調(diào)性可知，

函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度

為（參見示意圖1）

（ii）時，不妨設(shè)，則，于是

   當(dāng)時，有，從而；

當(dāng)時，有

從而  ；

當(dāng)時，，及，由方程

      解得圖象交點的橫坐標(biāo)為

                          ⑴顯然，

這表明在與之間。由⑴易知

 

綜上可知，在區(qū)間上，   （參見示意圖2）

故由函數(shù)及的單調(diào)性可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為，由于，即，得

          ⑵

故由⑴、⑵得 

綜合（i）（ii）可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為。