Question

已知二次函數(shù)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1，1)，反比例函數(shù)的圖象與直線y=x的兩個交點(diǎn)間的距離為8，．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(2)證明：當(dāng)a＞3時，關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有三個實(shí)數(shù)解．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)由已知，設(shè)，由，得a=1， ∴． 設(shè)，它的圖象與直線y=x的交點(diǎn)分別為A()，B， 由|AB|=8，得k=8，∴．故． (2)證明：由f(x)=f(a)，得，即． 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出和的大致圖象如圖，其中的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，的圖象是以為頂點(diǎn)，開口向下的拋物線． 因此與的圖象在第三象限有一個交點(diǎn)，即f(x)=f(a)有一個負(fù)數(shù)解． 又∵，， 當(dāng)a＞3時，， ∴當(dāng)a＞3時，在第一象限的圖象上存在一點(diǎn)(2，f(2))在圖象的上方． ∴與的圖象在第一象限有兩個交點(diǎn)，即f(x)=f(a)有兩個正數(shù)解． 因此，方程f(x)=f(a)有三個實(shí)數(shù)解．