Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₂=a+2（a為常數(shù)），S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n是na_n與na的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求a₁，a₃；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若b_n=3ⁿ且a=2，T_n為數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和，求

lim

n→∞

Tn-n•3n+1

bn

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n是na_n與na的等差中項(xiàng)．得到S_n、na_n與na的關(guān)系式，從n=1依次代入整數(shù)值，再結(jié)合a₂=a+2（a為常數(shù)），即可求出a₁，a₃；
（Ⅱ）由a₁，a₂，a₃的值與n的關(guān)系，歸納推理出數(shù)列的通項(xiàng)公式，觀察到它們是與自然數(shù)集相關(guān)的性質(zhì)，可采用數(shù)學(xué)歸納法來證明．
（Ⅲ）通過（Ⅱ）可知a_n，若b_n=3ⁿ且a=2，求出T_n前n項(xiàng)和的表達(dá)式，代入

lim

n→∞

Tn-n•3n+1

bn

，利用極限的運(yùn)算法則即可求極限值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得 Sn=

nan+na

2

，
當(dāng)n=1時(shí)，
S₁=a₁則2a₁=a₁+a，
得a₁=a．
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=a₁+a₂+a₃
則2（a₁+a₂+a₃）=3（a₃+a）
∴a₃=a+4
（Ⅱ）由a₁=a、a₂=a+2、a₃=a+4，
猜想：a_n=a+2（n-1）
證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，
左邊=a₁=a，
右邊=a+2（1-1）=a，
則當(dāng)n=1時(shí)，等式成立，
當(dāng)n=2時(shí)，
左邊=a₂=a+2=右邊，
故當(dāng)n=2時(shí)，等式成立．
②假設(shè)n=K時(shí)，等式成立，
即a_K=a+2（K-1）則當(dāng)n=K+1時(shí)，
a_K+1=S_K+1-S_K=

aK+1+a

2

(k+1)-

ak+a

2

k
∴（K-1）a_K+1=ka_k-a
即a_K+1=

K

K-1

a_k-

a

K-1

將a_K=a+2（K-1）代入得
a_K+1=a+2[（k+1）-1]，
∴當(dāng)n=K+1時(shí)，等式也成立．由①②可知，對(duì)任何正整數(shù)n，
等式a_n=a+2（n-1）都成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a_n=a+2（n-1）=2n，b_n=3ⁿ；a_n•b_n=2n3ⁿ；
T_n=2•3+4•3²+8•3³+…+（2n-2）•3^n-1+2n•3ⁿ．①
2T_n=2•2²+4•2³+…+4（n-1）•2ⁿ+4n•3ⁿ⁺¹．②
②-①得Tn=

3

2

-

3

2

•3n+n•3n+1，

lim

n→∞

Tn-n•3n+1

bn

=

lim

n→∞

3 2 - 3 2 •3n+n•3n+1-n•3n+1

3n

=-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題中的證明要用到數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．求和注意錯(cuò)位相減法，注意極限的求法與應(yīng)用．