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        1. 已知數(shù)列{an}中,a2=a+2(a為常數(shù)),Sn為{an}的前n項和,且Sn是nan與na的等差中項.
          (Ⅰ)求a1,a3;
          (Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
          (Ⅲ)若bn=3n且a=2,Tn為數(shù)列{an•bn}的前n項和,求
          lim
          n→∞
          Tn-n•3n+1
          bn
          的值.
          分析:(Ⅰ)由Sn是nan與na的等差中項.得到Sn、nan與na的關系式,從n=1依次代入整數(shù)值,再結(jié)合a2=a+2(a為常數(shù)),即可求出a1,a3;
          (Ⅱ)由a1,a2,a3的值與n的關系,歸納推理出數(shù)列的通項公式,觀察到它們是與自然數(shù)集相關的性質(zhì),可采用數(shù)學歸納法來證明.
          (Ⅲ)通過(Ⅱ)可知an,若bn=3n且a=2,求出Tn前n項和的表達式,代入
          lim
          n→∞
          Tn-n•3n+1
          bn
          ,利用極限的運算法則即可求極限值.
          解答:解:(Ⅰ)由已知得 Sn=
          nan+na
          2
          ,
          當n=1時,
          S1=a1則2a1=a1+a,
          得a1=a.
          當n=3時,S3=a1+a2+a3
          則2(a1+a2+a3)=3(a3+a)
          ∴a3=a+4
          (Ⅱ)由a1=a、a2=a+2、a3=a+4,
          猜想:an=a+2(n-1)
          證明:
          ①當n=1時,
          左邊=a1=a,
          右邊=a+2(1-1)=a,
          則當n=1時,等式成立,
          當n=2時,
          左邊=a2=a+2=右邊,
          故當n=2時,等式成立.
          ②假設n=K時,等式成立,
          即aK=a+2(K-1)則當n=K+1時,
          aK+1=SK+1-SK=
          aK+1+a
          2
          (k+1)-
          ak+a
          2
          k

          ∴(K-1)aK+1=kak-a
          即aK+1=
          K
          K-1
          ak-
          a
          K-1

          將aK=a+2(K-1)代入得
          aK+1=a+2[(k+1)-1],
          ∴當n=K+1時,等式也成立.由①②可知,對任何正整數(shù)n,
          等式an=a+2(n-1)都成立.
          (Ⅲ)由(Ⅱ)可知an=a+2(n-1)=2n,bn=3n;an•bn=2n3n;
          Tn=2•3+4•32+8•33+…+(2n-2)•3n-1+2n•3n.①
          2Tn=2•22+4•23+…+4(n-1)•2n+4n•3n+1.②
          ②-①得Tn=
          3
          2
          -
          3
          2
          3n+n•3n+1
          ,
          lim
          n→∞
          Tn-n•3n+1
          bn
          =
          lim
          n→∞
          3
          2
          -
          3
          2
          3n+n•3n+1-n•3n+1
          3n
          =-
          3
          2
          點評:本題中的證明要用到數(shù)學歸納法,數(shù)學歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關的性質(zhì),其步驟為:設P(n)是關于自然數(shù)n的命題,若1)(奠基) P(n)在n=1時成立;2)(歸納) 在P(k)(k為任意自然數(shù))成立的假設下可以推出P(k+1)成立,則P(n)對一切自然數(shù)n都成立.求和注意錯位相減法,注意極限的求法與應用.
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          1
          3n+1
          (n∈N*)
          ,則
          lim
          n→∞
          an
          =
           

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          已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
          an
          1+2an
          ,則{an}的通項公式an=
          1
          2n-1
          1
          2n-1

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          n+1
          2
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          (1)求數(shù)列{an}的通項公式;
          (2)求數(shù)列{
          2n
          an
          }
          的前n項和Tn

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}中,a1=
          1
          2
          ,Sn
          為數(shù)列的前n項和,且Sn
          1
          an
          的一個等比中項為n(n∈N*
          ),則
          lim
          n→∞
          Sn
          =
          1
          1

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          A、
          n
          2n
          B、
          n
          2n-1
          C、
          n
          2n-1
          D、
          n+1
          2n

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