Question

如圖，直角△ABC中，∠A=30°，∠B為直角，BC=1，D，E分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且
DE∥BC，現(xiàn)將△ADE沿DE翻折，使得平面A'DE⊥平面BCDE，當(dāng)DE運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐A'-BCDE體積的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由題意設(shè)出AE=x，求出ED，然后求出四棱錐A'-BCDE體積的表達(dá)式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可．

解答：解：設(shè)AE=x，x∈（0，

3

），所以ED=

3 x

3

，所以四棱錐A'-BCDE體積：V=

1

3

x(

3

2

-

1

2

×

3

3

x2)=

3

6

x-

3

18

x3，
所以V′=

3

6

-

3

6

x2，令V′=0，解得x=1，x∈（0，1）函數(shù)單調(diào)遞增，x∈[1，

3

）導(dǎo)數(shù)小于0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以x=1時(shí)，四棱錐A'-BCDE體積取得最大值，就是

3

6

-

3

18

=

3

9

；
故答案為：

3

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查棱錐的體積的求法，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最大值的方法，考查計(jì)算能力，空間想象能力．