Question

如圖，ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方體，在圖(1)中E、F分別是D₁C₁、B₁B的中點(diǎn)，畫(huà)出圖(1)、(2)中有陰影的平面與平面ABCD的交線(xiàn)，并給出證明.

Answer 1

【探究】 在圖(1)中過(guò)點(diǎn)E作EN平行于BB₁交CD于點(diǎn)N，連結(jié)NB并延長(zhǎng)交EF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，連結(jié)AM，則AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線(xiàn).

    在圖(2)中，延長(zhǎng)DC，過(guò)點(diǎn)C₁作C₁M∥A₁B交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，連結(jié)BM，則BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線(xiàn).

    證明：在圖(3)中，因?yàn)橹本�(xiàn)EN∥BF，所以BNEF四點(diǎn)共面.因此EF與BN相交，交點(diǎn)為M.因?yàn)镸∈EF，且M∈NB，而EF平面AEF，NB?平面ABCD，所以M是平面ABCD與平面AEF的公共點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)A是平面AEF和平面ABCD的公共點(diǎn)，故AM為兩平面的交線(xiàn).

    在圖(4)中，C₁M在平面CDD₁C₁內(nèi)，因此與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交，交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M為平面A₁C₁B與平面ABCD的公共點(diǎn)，又點(diǎn)B是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，因此直線(xiàn)BM是兩平面的交線(xiàn).

【規(guī)律總結(jié)】 確定兩個(gè)平面的交線(xiàn)，就是找兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，一般題目都會(huì)給出一個(gè)公共點(diǎn)，在確定另一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)通常利用分別在已知的兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)來(lái)確定.