Question

本題（1）（2）（3）三個(gè)選答題，每小題5分，請(qǐng)考生任選1題作答，如果多做，則按所做的前1題計(jì)分．
（1）（選修4-1，幾何證明選講）如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a

2

，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，則EF=

a

2

．
（2）（選修4-4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系（ρ，θ）（0≤θ≤2π）中，曲線ρ=2sinθ與ρcosθ=-1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為

（

2

，

3π

4

）

．
（3）（選修4-1，不等式選講）已知函數(shù)f（x）=|x-a|．若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，則實(shí)數(shù)a的值為

a=2

．

Answer 1

分析：（1）要求EF的長(zhǎng)，關(guān)鍵是關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)三角形，使EF位于該三角形，解三角形即可求解；
（2）先將原極坐標(biāo)方程ρ=2sinθ與ρcosθ=-1化成直角坐標(biāo)方程，再利用直角坐標(biāo)方程求出交點(diǎn)，最后再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)；
（3）根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法，我們可得f（x）≤3的解集a-3≤x≤a+3，再由已知中f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，由此可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的方程，解方程組，即可得到答案．

解答：解：（1）連接DE，
∵四邊形ABCD為直角梯形，AB=AD=a，CD=

a

2

，CB⊥AB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點(diǎn)
∴△AED為直角三角形．則EF是RT△AED斜邊上的中線，
由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，EF=

1

2

DE=

1

2

AB=

a

2

．
故答案為：

a

2

（2）兩條曲線的普通方程分別為x²+y²=2y，x=-1．
解得

x=-1 y=1.

由

x=ρcosθ y=ρsinθ

得點(diǎn)（-1，1），極坐標(biāo)為 (

2

，

3π

4

)．
故答案為：(

2

，

3π

4

)．
（3）由|x-a|≤3得a-3≤x≤a+3，
所以

a-3=-1 a+3=5

解之得a=2為所求，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：（1）連接DE，構(gòu)造含有線段EF的直角三角形是解答本題的關(guān)鍵，由此可得，解決平面幾何的求值和證明問(wèn)題，輔助線的添加是基礎(chǔ)．
（2）本小題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．
（3）本題考查的知識(shí)點(diǎn)是帶絕對(duì)值的函數(shù)、絕對(duì)值不等式的解法．