Question

在直角坐標系xOy中，中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C上的點(2，1)到兩焦點的距離之和為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過橢圓C的右焦點F作直線l與橢圓C分別交于A，B兩點，其中點A在x軸下方，且＝3.求過O，A，B三點的圓的方程．

 

Answer 1

（1）＝1（2）x2＋y2－x－y＝0.

【解析】(1)由題意，設(shè)橢圓C：＝1(a＞b＞0)，則2a＝4，a＝2.

因為點(2，1)在橢圓＝1上，所以＋＝1，解得b＝.

所以所求橢圓的方程為＝1.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＜0，y2＞0)．點F的坐標為F(3，0)．

則＝3.，得即①

又點A，B在橢圓C上，所以解得?

所以B ，代入①，得點A的坐標為(2，－)．

因為·＝0，所以OA⊥AB.

所以過O，A，B三點的圓就是以OB為直徑的圓．

其方程為x2＋y2－x－y＝0.