Question

如圖四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為正方形，側(cè)棱與底邊長(zhǎng)均為a，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°．
①求證四棱錐 A₁-ABCD為正四棱錐；
②求側(cè)棱AA₁到截面B₁BDD₁的距離；
③求側(cè)面A₁ABB₁與截面B₁BDD₁的銳二面角大小．

Answer 1

分析：①證明四棱錐的底面ABCD為正方形，頂點(diǎn)A1在底面的射影是底面正方形的中心，即可證明棱錐是正四棱錐；
②側(cè)棱AA₁到截面B₁BDD₁的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)O與側(cè)棱AA₁的距離，通過三角形的中位線求出距離即可；
③判斷∠MBD是所求二面角側(cè)面A₁ABB₁與截面B₁BDD₁的銳二面角的平面角，通過解三角形求出二面角的大小即可．

解答：解：（1）證明：由AA₁=AD=AB，及∠A₁AD=∠A₁AB=60°
⇒△A₁AD、△AA₁B都是正三角形，從而AA₁=A₁D=A₁B，
設(shè)A₁ 在底面ABCD的射影為O，則由斜線長(zhǎng)相等推出射影長(zhǎng)也相等，
所以O(shè)是Rt△ABD的外心，
因?yàn)镽t△ABD的外心是斜邊BD的中點(diǎn)，
所以O(shè)是底面正方形ABCD的中心．
所以四棱錐A₁-ABCD是正四棱錐．
（2）解：由DB⊥平面AA₁O⇒截面BB₁D₁D⊥平面AA₁O
⇒點(diǎn)O與側(cè)棱AA₁的距離d等于AA₁和截面BB₁D₁D之間的距離．
取AA₁的中點(diǎn)M，則OM∥A₁C，且OM⊥AA₁，OM=

1

2

A₁C=

1

2

a，
∴所求距離為

1

2

a．
（3）解：注意到所求二面角的棱是B₁B，
由M是AA₁的中點(diǎn)⇒MB⊥AA₁，B₁B∥AA₁⇒MB⊥B₁B，
又DB⊥AA₁，AA₁∥B₁B⇒DB⊥B₁B，
∴∠MBD是所求二面角的平面角．不妨設(shè)AB=a=2，則BD=2

2

，MB=MD=

3

，
∴tanMBD=

2

2

．
∴側(cè)面A₁ABB₁與截面B₁BDD₁的夾角為arctan

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐結(jié)構(gòu)特征，二面角的求法，點(diǎn)到平面的距離的求法，才空間想象能力與計(jì)算能力．