Question

已知函數(shù)，，.

（1）求的最大值；

（2）若對，總存在使得成立，求的取值范圍；

（3）證明不等式：.

 

Answer 1

【答案】

（1）0；（2）；（3）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查思維能力、創(chuàng)新意識，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想.第一問，是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)最值；第二問，雖然是恒成立問題，但經(jīng)過分析可以轉(zhuǎn)化成求和，通過討論確定每段區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性和最值；第三問，先通過觀察湊出所要證明的表達(dá)式的形式，再利用等比數(shù)列的前n項和公式求和，最后通過放縮法得到結(jié)論.

試題解析： （1）∵ ()

∴  ∴當(dāng)時，，時 

∴  ∴的最大值為0

（2），使得成立，等價于

由（1）知，當(dāng)時，在時恒為正，滿足題意.

當(dāng)時，，令解得

∴在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

若即時，，∴ ∴ ∴，

若即時，在,，

而，在為正，在為負(fù)，

∴，

當(dāng)而時不合題意，

綜上的取值范圍為  .

（3）由（1）知即  ()

取  ∴   ∴即

∴

.

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)求最值；2.恒成立問題；3.等比數(shù)列的前n項和公式；4.放縮法.