Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若時，關于的方程有唯一解，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ) ．

【解析】試題分析：(1)首先函數(shù)的定義域要求x>0，對函數(shù)求導，針k為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況考查導數(shù)的符號，借助導數(shù)的正負說明函數(shù)的增減性；（2）當k=2014時，寫出函數(shù)f(x)的表達式，使關于的方程有唯一解，只需有唯一根，構造函數(shù)，對函數(shù)g(x)求導，令，得，研究函數(shù)個g(x)在 上的單調(diào)性和和g(x)的極小值，由于有唯一解，則要求則根據(jù)兩式的結(jié)構發(fā)現(xiàn)可構造函數(shù)，由于 h(x)在上單增且，說明中的，從而解得 .

試題解析：

(Ⅰ) 由已知得x＞0且．

當k是奇數(shù)時， ，則f(x)在(0,+ )上是增函數(shù);

當k是偶數(shù)時，則．

所以當x 時， ，當x 時， ．

故當k是偶數(shù)時，f (x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

(Ⅱ) 若，則．

記， ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；

令,得．

因為，所以（舍去），．

當時， ， 在是單調(diào)遞減函數(shù)；

當時， ， 在上是單調(diào)遞增函數(shù)．

當x=x2時, ， ．因為有唯一解，所以．

則 即設函數(shù)，

因為在x>0時，h (x)是增函數(shù)，所以h (x) = 0至多有一解．

因為h (1) = 0，所以方程(*)的解為x 2 = 1，從而解得