Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定直線l：x=2的距離與點(diǎn)P到定點(diǎn)F之比為．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡c的方程；
（2）若點(diǎn)N為軌跡C上任意一點(diǎn)（不在x軸上），過原點(diǎn)O作直線AB交（1）中軌跡C于點(diǎn)A、B，且直線AN、BN的斜率都存在，分別為k₁、k₂，問k₁•k₂是否為定值？
（3）若點(diǎn)M為圓O：x²+y²=4上任意一點(diǎn)（不在x軸上），過M作圓O的切線，交直線l于點(diǎn)Q，問MF與OQ是否始終保持垂直關(guān)系？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P，利用兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出P到定直線的距離和到點(diǎn)F的距離的比，建立方程求得x和y的關(guān)系式，即P的軌跡方程．
（2）設(shè)出N，A，則B的坐標(biāo)可知，代入圓錐曲線的方程相減后，可求得k₁•k₂=-，證明原式．
（3）設(shè)M（x，y），則可表示出切線方程，與x=2聯(lián)立求得Q的坐標(biāo)表達(dá)式，則可分別表示出和，進(jìn)而利用向量的運(yùn)算法則求得•結(jié)果為0，判斷出⊥．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），依題意，有
．
整理，得．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為．

（2）由題意：設(shè)N（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
則B（-x₂，-y₂），
k₁•k₂==
=為定值．

（3）M（x，y），則切線MQ的方程為：xx+yy=4
由得Q
，=
=
所以：即MF與OQ始終保持垂直關(guān)系
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．當(dāng)涉及直線的斜率的時(shí)候，點(diǎn)差法是常用的方法，能把直線的斜率和曲線方程，交點(diǎn)坐標(biāo)，交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)等向聯(lián)系．