Question

購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費(fèi)a元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10 000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨(dú)立．已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為1-0.999¹⁰⁴．
（Ⅰ）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p；
（Ⅱ）設(shè)保險公司開辦該項(xiàng)險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）．

Answer 1

分析：（1）由題意知各投保人是否出險互相獨(dú)立，且出險的概率都是p，記投保的10000人中出險的人數(shù)為ξ，由題意知ξ服從二項(xiàng)分布一投保人在一年度內(nèi)出險的對立事件是沒有一個人出險．
（2）寫出本險種的收入和支出，表示出它的盈利期望，根據(jù)為保證盈利的期望不小于0，列出不等式，解出每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)．

解答：解：由題意知
各投保人是否出險互相獨(dú)立，且出險的概率都是p，
記投保的10000人中出險的人數(shù)為ξ，
由題意知ξ～B（10⁴，p）．
（Ⅰ）記A表示事件：保險公司為該險種至少支付10000元賠償金，
則

.

A

發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)ξ=0，
P(A)=1-P(

.

A

)=1-P（ξ=0）=1-（1-p）¹⁰⁴，
又P（A）=1-0.999¹⁰⁴，
故p=0.001．
（Ⅱ）該險種總收入為10000a元，支出是賠償金總額與成本的和．
支出10000ξ+50000，
盈利η=10000a-（10000ξ+50000），
盈利的期望為Eη=10000a-10000Eξ-50000，
由ξ～B（10⁴，10^-3）知，
Eξ=10000×10^-3，
Eη=10⁴a-10⁴Eξ-5×10⁴=10⁴a-10⁴×10⁴×10^-3-5×10⁴．
Eη≥0?10⁴a-10⁴×10-5×10⁴≥0?a-10-5≥0?a≥15（元）．
∴每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元．

點(diǎn)評：解決離散型隨機(jī)變量分布列問題時，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運(yùn)算要簡單的多．