Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
①若f（x）無零點(diǎn)，則g（x）＞0對?x∈R成立；
②若f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則g（x）必有兩個(gè)零點(diǎn)；
③若方程f（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，則方程g（x）=0不可能無解．
其中真命題的個(gè)數(shù)是

0

個(gè)．

Answer 1

分析：本題利用特殊法處理，根據(jù)已知條件，適當(dāng)取特殊函數(shù)一一驗(yàn)證：對于①可取a=-1，b=0，c=-1，則f（x）=-x²-1，無零點(diǎn)；對于②可取a=1，b=0，c=0，即f（x）=x²，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；對于③可取a=1，b=1，c=

3

16

，方程f（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根-

1

4

，-

3

4

．

解答：解：已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
對于①，若取a=-1，b=0，c=-1，則f（x）=-x²-1，無零點(diǎn)，但g（x）=-（-x²-1）²-1＜0對?x∈R成立，故①錯(cuò)；
②若f（x）=x²，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則g（x）=（x²）²=x⁴沒有兩個(gè)零點(diǎn)，故②錯(cuò)；
③若取a=1，b=1，c=

3

16

，方程f（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根-

1

4

，-

3

4

，而方程g（x）=[f（x）]²+[f（x）]+

3

16

?f（x）=-

1

4

或f（x）=-

3

4

，無解，故③錯(cuò)．
∴其中真命題的個(gè)數(shù)是0．
故答案為 0

點(diǎn)評：本小題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)方程不等式的思想方法