Question

（2011•奉賢區(qū)二模）（文）設(shè)函數(shù)f(x)=ax+

4

x

(x＞0)，a∈R+．
（1）當(dāng)a=2，解不等式f（x）＞9
（2）若連續(xù)擲兩次骰子（骰子六個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4，5，6）得到的點(diǎn)數(shù)分別作為a和b，求f（x）＞b²恒成立的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：f（x）=2x+

4

x

＞9，即可得到

x＞0 2x2-9x+4＞0

，再利用一元二次不等式的解法得到答案．
（2）利用基本不等式可得：f(x)min=4

a

，所以由f（x）＞b²恒成立可得16a＞b⁴．首先計(jì)算出基本事件總數(shù)，再利用列舉的方法得到此事件包含的基本事件，進(jìn)而根據(jù)等可能事件的概率公式得到答案．

解答：解：（1）由題意可得：a=2，
所以可得f（x）=2x+

4

x

＞9，
所以

x＞0 2x2-9x+4＞0

（3分）
解得：x∈(0，

1

2

)∪(4，+∞)（6分），
所以不等式f（x）＞9的解集為：(0，

1

2

)∪(4，+∞)．
（2）根據(jù)題意并且結(jié)合基本不等式可得：f(x)≥4

a

，所以f(x)min=4

a

（8分），
因?yàn)閒（x）＞b²恒成立，
所以f（x）_min＞b²即可，即16a＞b⁴（10分）．
由題意可得：基本事件總數(shù)為6×6=36，
當(dāng)a=1時(shí)，b=1；
當(dāng)a=2，3，4，5時(shí)，b=1，2，；
當(dāng)a=6時(shí)，b=1，2，3；
目標(biāo)事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)為1+8+3=12．
所以f（x）＞b²恒成立的概率，即16a＞b⁴的概率為

1

3

．（14分）

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握基本不等式、一元二次不等式的解法，以及恒成立問題（即求函數(shù)的最值），此題考查了等可能事件的概率，解決此種問題一般利用列舉法或者借助于排列與組合，此題屬于中檔題，高考命題的熱點(diǎn)之一．