Question

（2012•朝陽區(qū)二模）已知函數f（x）=alnx+

2a2

x

+x（a≠0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-2y=0垂直，求實數a的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）當a∈（-∞，0）時，記函數f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≤

1

2

e2．

Answer 1

分析：（I）確定f（x）的定義域，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-2y=0垂直，可得f′（1）=-2，從而可求實數a的值；
（II）求導函數，分類討論，利用導數的正負，即可確定函數f（x）的單調性；
（III）由（Ⅱ）知，當a∈（-∞，0）時，函數f（x）的最小值為g（a），且g（a）=f（-2a）=aln（-2a）-3a，求導數，求出函數的最大值，即可證得結論．

解答：解：（I）f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′（x）=

a

x

-

2a2

x2

+1（x＞0）
根據題意，有f′（1）=-2，所以2a²-a-3=0，解得a=-1或a=

3

2

．
（II）解：f′(x)=

(x-a)(x+2a)

x2

(x＞0)
（1）當a＞0時，因為x＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a．
所以函數f（x）在（a，+∞）上單調遞增，在（0，a）上單調遞減；
（2）當a＜0時，因為x＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞-2a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜-2a．
所以函數f（x）在（-2a，+∞）上單調遞增，在（0，-2a）上單調遞減；
（III）證明：由（Ⅱ）知，當a∈（-∞，0）時，函數f（x）的最小值為g（a），且g（a）=f（-2a）=aln（-2a）-3a，
∴g′（a）=ln（-2a）-2，
令g′（a）=0，得a=-

1

2

e2．
當a變化時，g′（a），g（a）的變化情況如下表：

a	（-∞，- 1 2 e2）	- 1 2 e2	（- 1 2 e2，0）
g′（a）	+	0	-
g（a）		極大值

∴-

1

2

e2是g（a）在（-∞，0）上的唯一極值點，且是極大值點，從而也是g（a）的最大值點．
所以g（a）_max=g（-

1

2

e2）=

1

2

e2．
所以，當a∈（-∞，0）時，g（a）≤

1

2

e2成立．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查導數的幾何意義，考查函數的最值，解題的關鍵是正確求導．