Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

nan-1

an-1+2n-2

（n≥2）．
（1）求a₂，a₃，
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè){a_n}的前n項和S_n，證明：S_n＞2-

1

2n-1

-

n

2n

．

Answer 1

分析：（1）a₁=1，再a_n=

nan-1

an-1+2n-2

（n≥2）中令n=2求a₂，令n=3求a₃．
（2）由a_n=

nan-1

an-1+2n-2

（n≥2），兩邊取倒數(shù)，得出

n

an

=

an-1+2n-2

an-1

=

2(n-1)

an-1

+1，令c_n=

n

an

，構(gòu)造得出數(shù)列{c_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
通過數(shù)列{c_n+1}的通項公式求a_n．
（3）由（2）a_n=

n

2n-1

，直接求S_n不易求．將每項進行縮小，a_n=

n

2n-1

＞

n

2n

，利用錯位相消法將右邊相加、化簡后，即可證明．

解答：解：（1）a2=

2a1

a1+2×2-2

=

2

3

，a3=

3a2

a2+2×3-2

=

3

7

（2）a_n=

nan-1

an-1+2n-2

（n≥2）．
∴

n

an

=

an-1+2n-2

an-1

=

2(n-1)

an-1

+1，
令c_n=

n

an

，則c_n=2c_n-1+1，c_n+1=2（c_n-1+1），
又c₁+1=

1

a1

+1=2，所以數(shù)列{c_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以c_n+1=2ⁿ，c_n=2ⁿ-1，
∴a_n=

n

2n-1

（3）a_n=

n

2n-1

＞

n

2n

，所以S_n＞a₁+a₂+…+a_n=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

令T_n=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

①
則

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

T_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

．
所以S_n＞2-

1

2n-1

-

n

2n

．

點評：本題是中檔題，考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列通項公式求解，數(shù)列求和，放縮法不等式的證明，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．