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        1. 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=
          nan-1
          an-1+2n-2
          (n≥2).
          (1)求a2,a3,
          (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (3)設(shè){an}的前n項(xiàng)和Sn,證明:Sn>2-
          1
          2n-1
          -
          n
          2n
          分析:(1)a1=1,再an=
          nan-1
          an-1+2n-2
          (n≥2)中令n=2求a2,令n=3求a3
          (2)由an=
          nan-1
          an-1+2n-2
          (n≥2),兩邊取倒數(shù),得出
          n
          an
          =
          an-1+2n-2
          an-1
          =
          2(n-1)
          an-1
          +1
          ,令cn=
          n
          an
          ,構(gòu)造得出數(shù)列{cn+1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
          通過數(shù)列{cn+1}的通項(xiàng)公式求an
          (3)由(2)an=
          n
          2n-1
          ,直接求Sn不易求.將每項(xiàng)進(jìn)行縮小,an=
          n
          2n-1
          n
          2n
          ,利用錯(cuò)位相消法將右邊相加、化簡后,即可證明.
          解答:解:(1)a2=
          2a1
          a1+2×2-2
          =
          2
          3
          a3=
          3a2
          a2+2×3-2
          =
          3
          7

          (2)an=
          nan-1
          an-1+2n-2
          (n≥2).
          n
          an
          =
          an-1+2n-2
          an-1
          =
          2(n-1)
          an-1
          +1
          ,
          令cn=
          n
          an
          ,則cn=2cn-1+1,cn+1=2(cn-1+1),
          又c1+1=
          1
          a1
          +1
          =2,所以數(shù)列{cn+1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
          所以cn+1=2n,cn=2n-1,
          ∴an=
          n
          2n-1

          (3)an=
          n
          2n-1
          n
          2n
          ,所以Sn>a1+a2+…+an=
          1
          21
          +
          2
          22
          +…+
          n-1
          2n-1
          +
          n
          2n

          令Tn=
          1
          21
          +
          2
          22
          +…+
          n-1
          2n-1
          +
          n
          2n

          1
          2
          Tn
          =
          1
          22
          +
          2
          23
          +…+
          n-1
          2n
          +
          n
          2n+1

          ①-②得
          1
          2
          Tn
          =
          1
          2
          +
          1
          22
          +
          1
          23
          +…+
          1
          2n
          -
          n
          2n+1
          =1-
          1
          2n
          -
          n
          2n+1

          Tn=2-
          1
          2n-1
          -
          n
          2n

          所以Sn>2-
          1
          2n-1
          -
          n
          2n
          點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列通項(xiàng)公式求解,數(shù)列求和,放縮法不等式的證明,考查計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
          3+4an
          12-4an
          , n∈N*

          (1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
          1
          an-
          1
          2
          (n∈N*)
          ,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
          (2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn;
          (3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足
          1
          2
          a1+
          1
          22
          a2+
          1
          23
          a3+…+
          1
          2n
          an=2n+1
          則{an}的通項(xiàng)公式
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1=
          3
          2
          ,且an=
          3nan-1
          2an-1+n-1
          (n≥2,n∈N*).
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
          (1)若a1=
          54
          ,求an;
          (2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k(用k,a表示)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項(xiàng)公式an等于
          2n-1
          2n-1

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          同步練習(xí)冊(cè)答案