Question

已知公差為d（d＞1）的等差數(shù)列{a_n}和公比為q（q＞1）的等比數(shù)列{b_n}，滿足集合{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}
（1）求通項(xiàng)a_n，b_n；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若恰有4個(gè)正整數(shù)n使不等式成立，求正整數(shù)p的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中成公差大于1的等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)和成公比大于1的等比數(shù)列的三個(gè)數(shù)，進(jìn)而根據(jù){a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}，求得a₃，a₄，a₅，b₃，b₄，b₅，進(jìn)而求得等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差和等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，則a_n，b_n可求得．
（2）根據(jù)（1）中的a_n，b_n可求得a_nb_n，進(jìn)而用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前n項(xiàng)的和．
（3）不等式等價(jià)于，進(jìn)而整理得，先看當(dāng)n≥3時(shí)，根據(jù)
求得n的范圍，進(jìn)而判斷出當(dāng)n≥4時(shí)，{c_n}單調(diào)遞增，即單調(diào)遞減進(jìn)而看n=3，4，5，6時(shí)，求得ρ的范圍，推斷出恰有4個(gè)正整數(shù)n使不等式成立的正整數(shù)p值為3
解答：解：（1）∵1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中成公差大于1的等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)只能是1，3，5；
成公比大于1的等比數(shù)列的三個(gè)數(shù)只能是1，2，4
而{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}，
∴a₃=1，a₄=3，a₅=5，b₃=1，b₄=2，b₅=4
∴，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-5，b_n=b₁×q^n-1=2^n-3

（2）∵a_nb_n=（2n-5）×2^n-3
∴S_n=（-3）×2^-2+（-1）×2^-1+1×2++（2n-5）×2^n-3

兩式相減得-S_n=（-3）×2^-2+2×2^-1+2×2++2×2^n-3-（2n-5）×2^n-2
=
∴

（3）不等式等價(jià)于
即，
∵p＞0，∴n=1，2顯然成立
當(dāng)n≥3時(shí)，有，
即
設(shè)，由，得n＞3.5
∴當(dāng)n≥4時(shí)，{c_n}單調(diào)遞增，
即單調(diào)遞減
而當(dāng)n=3時(shí)，；
當(dāng)n=4時(shí)，；
當(dāng)n=5時(shí)，；
當(dāng)n=6時(shí)，；
∴恰有4個(gè)正整數(shù)n使不等式成立的正整數(shù)p值為3
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合．考查了學(xué)生綜合分析推理的能力以及基本的運(yùn)算能力．