【題目】如圖,在正三棱柱中,
的面積為
,
.點
為線段
的中點.
(1)在線段上找一點
,使得平面
平面
,并證明;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)先取的中點
,連接
,根據(jù)面面平行的判定定理即可得出結論成立;
(2)先取中點
,
的中點
,分別以
所在直線為
軸,建立空間直角坐標系,分別求出平面
的一個法向量以及平面
的一個法向量,求出向量夾角的余弦值即可得出結果.
(1)取的中點
,連接
.
,
四邊形
為平行四邊形,
,
平面
,
平面
,
平面
;
同理可得,四邊形為平行四邊形,
平面
;
,
平面
,
平面
.
平面
平面
.
(2)取中點
,
的中點
,分別以
所在直線為
軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
,
,
,
.
由題意得,.
則,
.
設平面的一個法向量為
,
則,即
,即
.
令,則
,
,即
.
又平面的一個法向量為
.
,
由圖可知,二面角為銳角,
故二面角的余弦值為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年,某地認真貫徹落實中央十九大精神和各項宏觀調(diào)控政策,經(jīng)濟運行平穩(wěn)增長,民生保障持續(xù)加強,惠民富民成效顯著,城鎮(zhèn)居民收入穩(wěn)步增長,收入結構穩(wěn)中趨優(yōu).據(jù)當?shù)亟y(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù),現(xiàn)將8月份至12月份當?shù)氐娜司率杖朐鲩L率如圖(一)與人均月收入繪制成如圖(二)所示的不完整的條形統(tǒng)計圖.現(xiàn)給出如下信息:
①10月份人均月收入增長率為;
②11月份人均月收入約為1442元;
③12月份人均月收入有所下降;
④從上圖可知該地9月份至12月份這四個月與8月份相比人均月收入均得到提高.
其中正確的信息個數(shù)為( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為
,
,
是拋物線上的兩個動點,且
,過
,
兩點分別作拋物線的切線,設其交點為
.
(1)若直線與
,
軸分別交于點
,
,且
的面積為
,求
的值;
(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標原點
為極點,以
軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(1)求直線的普通方程和曲線
的直角坐標方程;
(2)若直線與曲線
相交于
兩點,設點
,已知
,求實數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某教師將寒假期間該校所有學生閱讀小說的時間統(tǒng)計如下圖所示,并統(tǒng)計了部分學生閱讀小說的類型,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
男生 | 女生 | |
閱讀武俠小說 | 80 | 30 |
閱讀都市小說 | 20 | 70 |
(1)是否有99.9%的把握認為“性別”與“閱讀小說的類型”有關?
(2)求學生閱讀小說時間的眾數(shù)和平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(3)若按照分層抽樣的方法從閱讀時間在、
的學生中隨機抽取6人,再從這6人中隨機挑選2人介紹選取小說類型的緣由,求所挑選的2人閱讀時間都在
的概率.
附:,
.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知兩個平面相互垂直,下列命題
①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線
②一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線
③一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面
④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個平面
其中正確命題個數(shù)是( )
A. B.
C. 1D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】十九大以來,某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求,帶領廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康。經(jīng)過不懈的奮力拼搏,新農(nóng)村建設取得巨大進步,農(nóng)民年收入也逐年增加。為了更好的制定2019年關于加快提升農(nóng)民年收人力爭早日脫貧的工作計劃,該地扶貧辦統(tǒng)計了2018年50位農(nóng)民的年收人并制成如下頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計50位農(nóng)民的年平均收入(單位:千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示);
(2)由頻率分布直方圖,可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入服從正態(tài)分布
,其中
近似為年平均收入
,
近似為樣本方差
,經(jīng)計算得
.利用該正態(tài)分布,求:
(i)在2019年脫貧攻堅工作中,若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標準,則最低年收入大約為多少千元?
(ii)為了調(diào)研“精準扶貧,不落一人”的政策要求落實情況, 扶貧辦隨機走訪了1000位農(nóng)民。若每個農(nóng)民的年收人相互獨立,問:這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少?
附:參考數(shù)據(jù)與公式,若
~
,則①
;②
;③
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知復數(shù)z=,(m∈R,i是虛數(shù)單位).
(1)若z是純虛數(shù),求m的值;
(2)設是z的共軛復數(shù),復數(shù)
+2z在復平面上對應的點在第一象限,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的是( )
A.若數(shù)列、
的極限都存在,且
,則數(shù)列
的極限存在
B.若數(shù)列、
的極限都不存在,則數(shù)列
的極限也不存在
C.若數(shù)列、
的極限都存在,則數(shù)列
、
的極限也存在
D.數(shù),若數(shù)列
的極限存在,則數(shù)列
的極限也存在
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